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权方和不等式（幂平均不等式）

时间：2025-07-07 12:00:39 来源：穷而后工网

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1、权方去百度文库，等式等式查看完整>来自用户:鍒橀珮宄幂平均不等式幂平均定义：如果是幂平一个非零实数，我们可以定义正数指数为的权方幂平均为。

2、等式等式同时定义：。幂平

3、权方幂平均不等式：如果，等式等式则，幂平当且仅当时等号成立。权方

4、等式等式于是幂平，均值不等式就是幂平均不等式的一个特例：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数例题已知为非负实数，且，求的取值范围。

5、解：一方面，有题意知，。

6、当且仅当之一为，另一为时，成立。

7、当，时，单调递减，，即。

8、所以另一方面，。

9、所以的取值范围是例题证明：，证明：一方面，有题意知，。

10、当且仅当之一为，另一为时，成立。

11、当，时，单调递减，，即。

12、所以。

13、另一方面，。

14、综上所述，所以。

15、例题设，且，求证：对任意正整数，有。

16、简证：。

17、例设都是正数，且，试证证明：据幂平均不等式，因此有，也就是。

18、例若不等式对所有正实数都成立，则的最小值是____________。

19、（第十三届希望杯.高二）设都是正数，试证设，且，试证当时有解：据幂平均不等式，因此，故的最小值是。

20、证明：，又，因此得，与相乘得，也就是。

21、仿此，一般地设；都是正数，且，则有。

22、证明：由幂平均不等式，这样便有；由于，由柯西不等式（或平均值不等式）易知，于是得；由不等式。

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